ТРЕХМЕРНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НА ОСНОВЕ МКЭ - Часть 1

1. Напряжённое состояние в точке

Вспомним, как нами было введено понятие напряжения. Рассмотрим тело, находящееся под действием системы уравновешенных сил (рис.48).

 Рис.1

 Будем исследовать внутренние силы в малой области окружающей точку , для чего проведём через данную точку сечение, рассекая тело на две части, и отбросим одну из них. Действие отброшенной части заменим внутренними силами (рис.49).

Рис. 2

 Выделим малую площадку , содержащую точку . Внешнюю нормаль этой площадки обозначим .

Результирующую внутренних сил, действующих на площадку  обозначим. Деля результирующую  на  получим величину среднего напряжения по площадке

 Величина  1 зависит от размеров площадки. Чтобы избавиться от влияния размеров площадки deltaA , перейдём к пределу и будем стягивать площадку к точке B

  

                                                                                  (1)

Величину  будем называть полным напряжением в точке  по площадке с внешней нормалью .

Совершенно очевидно, что если мы выберем другую площадку, проходящую через точку B, но ориентированную другим образом, то в общем случае вектор полного напряжения окажется иным.

Совокупность всех векторов полного напряжения по всем площадкам, проходящим через данную точку, составляет напряженное состояние в данной точке.

Напряжённое состояние в данной точке известно, если известны напряжения по трём взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку.

Докажем это важнейшее положение.

Нас интересует напряжённое состояние в точке . Выделим в окрестности этой точки малый прямоугольный параллелепипед (рис.50). Размеры параллелепипеда настолько малы, что напряжённое состояние в пределах параллелепипеда можно считать однородным, и что грани параллелепипеда являются площадками, проходящими через точку B и имеющими внешними нормалями оси X,Y,Z

 Рис. 3

Полное напряжение можно разложить на три составляющие, направленные по координатным осям. Всего будем иметь 9 компонент напряжённого состояния: три нормальных и шесть касательных напряжений. Нормальные напряжения обозначим sizma и припишем индекс, указывающий внешнюю нормаль.

Например: sizma— нормальное напряжение по площадке с внешней нормалью X.

Касательные напряжения обозначаются Tau с двумя индексами. Первый индекс указывает площадку, второй – направление напряжения.

Например Tau— касательное напряжение по площадке с внешней нормалью X, параллельное оси Y.

Нормальное напряжение считается положительным, если оно направлено по внешней нормали, т.е. является растягивающим.

Касательные напряжения считаются положительными, если при положительной внешней нормали они направлены в сторону положительных координатных осей.

Совершенно очевидно, что по противоположным граням параллелепипеда действуют равные по величине и противоположные по направлению напряжения.

Заметим также, что хотя на рис.50 компоненты напряжённого состояния показаны в виде векторов, они являются величинами скалярными.

Докажем, что касательные напряжения по взаимно перпендикулярным площадкам равны. Т.к. тело, из которого вырезан элементарный параллелепипед, находится в равновесии, то условия равновесия применимы и к элементу объёма. Запишем условие, что сумма моментов всех сил приложенных к элементарному параллелепипеду относительно координатных осей равна нулю