Метод конечных разностей (МКР)

Этот метод численного решения  краевых задач для дифференциальных уравнений  называют также  методом сеток.  Суть метода состоит в следующем.  На рассчитываемую область наносится сетка с узлами.  Все производные, входящие в дифференциальные уравнения и граничные условия, приближенно заменяются соответствующими разностными отношениями (по формулам численного дифференцирования) и, таким образом, выражаются через неизвестные узловые значения искомой функции. В результате приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений функций в узлах сетки.  Решение этой системы с последующей интерполяцией в промежутках между узлами позволяет в конечном счете получить приближенное решение рассматриваемой задачи.

Большим преимуществом этого метода является слабая зависимость от  граничных условий задачи, геометрии конструкций и характера исходного напряженного состояния.  Недостатком является высокий порядок систем алгебраических уравнений.  Для МКР также характерны затруднения при учете смешанных граничных условий, рассмотрении многосвязных областей и стыковок областей, описываемых различными дифференциальными уравнениями. 

Первые работы по применению МКР к задачам линейной теории упругости были выполнены  Г. Маркусом в начале XX столетия.  Широкий круг задач был решен  Н. П. Абовским,  П.М. Варваком,  М.А. Колтуновым, М.С. Корнишиным и др. В дальнейшем этот метод применялся для решения плоских задач теории упругости, изгиба пластин, оболочек и т. д.

Изложим основные положения МКР на примере одномерной задачи. Пусть, например, υ(x) есть уравнение изогнутой оси балки (рис. 9.86).  Точное значение производной в точке  С  будет равно

Выражение (9.243) называется  центральной  разностью  в точке  i,  а (9.244) и (9.245) – соответственно  правой  и  левой разностями  в точке  i  в  нецентрированной форме.  Все вышеприведенные выражения для первой производной,   помимо того, называются  первыми разностями.

Рассмотрим, как выполняется учет заданных условий по МКР. 

Если  υ_i = 0  в точке i, то данное неизвестное просто исключается из системы алгебраических уравнений (соответственно число уравнений в системе уменьшается на одно). 

Если  υ′ (x_i) = 0, то, подставляя данное условие в (9.243), имеем  ,  откуда  υ_l = υ_k,  и одно из этих неизвестных, например υ_l, также исключается   из системы уравнений. 

Если  , то из выражения второй разности (9.246) можно, например, выразить  υ_l = 2υ_i – υ_k.  Данная зависимость также позволяет исключить одно неизвестное, в данном случае  υ_l. 

Оптимизация элементов корпусных конструкций в программной среде Ansys

Анализ усиленной шпангоутной рамы и отыскание её оптимального варианта.

В качестве источника геометрических характеристик шпангоутной рамы была взята модель из альбома конструктивных мидель-шпангоутов транспортных судов под редакцией Рябова Л.И. Данный тип шпангоутной рамы применяется при строительстве универсальных сухогрузных судов.

Рис.1 Шпангоутная рама универсального сухогрузного судна

Расчет на прочность шпангоутной рамы показал, что максимальные напряжения в деформированном состоянии будут равны 182.306 МПа, что соответствует предъявляемым нормам прочности.

Рис.2 Напряжения, возникающие в шпангоутной раме

Деформированное состояние шпангоутной рамы показано на рис.8

Рис.3

В качестве параметра состояния принято максимальное напряжение, возникающее в шпангоутной раме под воздействием нагрузки. Был задан порог допустимых значений напряжения, равный 200 МПа.

В качестве переменных проектирования были приняты:

1.Высота стенки шпангоута в разных его частях

2.Радиусы округления в местах наибольшего напряжения

Рис.4 Переменные проектирования шпангоутной рамы

Оптимизация конструкции проводилась методом первого порядка. Для отыскания оптимального варианта конструкции программе потребовалось 5 итераций. Результаты расчета показали следующие оптимальные значения параметров проектирования:

В результате оптимизации масса конструкции уменьшилась на 5.8% по отношению к первоначальной, напряжения не превысили заданного ограничения.

Рис.5 Нахождение оптимального значения функции цели

Рис.6 Напряжения после оптимизации

ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ БАЛОК И РАМ МЕТОДОМ ЭВОЛЮЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важнейшей задачей строительной отрасли является снижение себестоимости конструкций зданий и сооружений при обеспечении требуемой для них несущей способности. Одним из путей решения этой проблемы является оптимальное проектирование. В настоящее время в строительных конструкциях достаточно широко используются железобетонные балки и рамно-стержневые системы. Алгоритмы выбора параметров поперечных сечений железобетонных стержней по заданным внутренним усилиям достаточно подробно проработаны в литературе. Процедуры такого типа используются в современных пакетах прикладных программ конечно-элементного анализа. Проблема же эффективной оптимизации статически неопределимых железобетонных стержневых систем с рассмотрением перераспределения внутренних усилий при изменении параметров конструкций требует проведения дальнейших исследований. Вопрос усложняется тем, что оптимальный поиск проектируемых объектов необходимо выполнять на дискретных множествах параметров, к которым следует отнести класс бетона и арматуры, размеры поперечных сечений ригелей и стоек, диаметры и числа стержней арматуры. В данном случае целесообразно использовать методы случайного поиска. Наиболее перспективным из таких подходов является метод эволюционного моделирования, иначе называемый генетическими алгоритмами. Следует отметить, что до настоящего времени еще не разработано методик, обеспечивающих возможность реализации этих алгоритмов для оптимизации реальных железобетонных конструкций с учетом требований СНиП. Поэтому тема диссертационной работы, связанная с оптимальным проектированием балочных и рамных железобетонных систем на основе эволюционного моделирования, представляется актуальной.

Объект исследования – конструкции железобетонных балок и плоских рам, изготавливаемых без предварительного напряжения арматуры.

Предмет исследования – методики оптимального синтеза железобетонных конструктивных систем на дискретных множествах параметров.

Цель работы - разработка методики и алгоритмов оптимизации железобетонных балочных и рамных конструкций с использованием итерационной схемы эволюционного моделирования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Разработать алгоритм расчета плоских стержневых железобетонных конструкций методом конечных элементов в физически нелинейной постановке с учетом возможности образования трещин в растянутом бетоне.

2. Разработать процедуру оптимизации стержневых железобетонных систем с помощью средств эволюционного моделирования.

3. Реализовать предлагаемые алгоритмы в рамках программы конечно-элемент­ного анализа.

4. Экспериментально подтвердить достаточно высокую точность математических моделей, вводимых для расчета железобетонных конструкций.

5. Разработать методику проверки живучести железобетонных систем при запроектных воздействиях.

6. Проиллюстрировать работоспособность предлагаемых алгоритмов на примерах оптимизации железобетонных конструкций.

Методы исследования. Оптимальное проектирование несущих железобетонных систем осуществляется на основе современных информационных технологий эволюционного моделирования. Расчет напряженно-деформируемого состояния объектов выполняется с помощью метода конечных элементов. Физически нелинейное поведение бетона и арматуры анализируется методом переменных параметров упругости.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработана эволюционная процедура оптимизации железобетонных балок и плоских рам на дискретных множествах параметров;

- разработана экономичная многослойная схема конечно-элементного моделирования деформаций железобетонных балок и плоских рам в физически нелинейной постановке с учетом возможности образования трещин в бетоне при действии растягивающих напряжений;

- предложен энергетический алгоритм анализа методом конечных элементов в физически нелинейной постановке нагруженности строительных систем в условиях мгновенных локальных разрушений.

Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждаются согласованностью разработанных алгоритмов с основными положениями строительной механики и теории железобетона, сопоставлением результатов ряда расчетов с экспериментальными данными и решениями, полученными другими методами.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- алгоритм деформационного расчета железобетонных балок и рам на основе многослойных конечно-элементных моделей;

- итерационная схема оптимизации железобетонных балочных и рамных конструкций по критерию минимума плановой производственной себестоимости с введением смешанной эволюционной стратегии для процедур учета ограничений и случайной вариации параметров;

- результаты экспериментальных исследований, подтвердивших достаточно высокую точность применяемых в диссертации расчетных моделей;

- алгоритм оценки в физически нелинейной постановке нагруженности конструкций при запроектных воздействиях;

- результаты расчета и оптимального синтеза рассматриваемых железобетонных конструкций.

Практическая значимость и реализация результатов работы.

Предлагаемая стержневая многослойная схема и реализующий ее программный модуль позволяют выполнять расчеты железобетонных балок и рам с удовлетворением требований СНиП 52-01-2003 об учете нелинейных диаграмм сжатия-растяжения бетона и арматуры. В результате анализа деформаций железобетонных систем получается подробная информация о перемещениях, распределении нормальных напряжений в бетоне и арматуре, ширине раскрытия трещин в растянутом бетоне.

Разработанная эволюционная процедура и ее программная реализация дают возможность осуществлять проектирование железобетонных балок и рам с оптимальным выбором параметров на допустимых вариантах классов бетона и арматуры, размерах поперечных сечений стержней, диаметров и чисел прутков продольной арматуры.

Представленные в диссертации методики использовались при совершенствовании железобетонных конструкций на ОАО «Стройсервис» и ООО «Брянск-Промбетон» (г. Брянск), а также в учебно-исследовательской работе студентов ФГБОУ ВПО «БГИТА». Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» по теме «Исследования закономерностей неравновесных процессов и статико-динамического деформирования пространственных конструктивных систем и развитие на этой основе теории живучести энерго-, ресурсоэффективных зданий и сооружений».

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на III и IV Международных научно-практических конференциях «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (г. Москва, 2010 и 2011 г. г.); VII Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в строительстве» (г. Москва, 2010 г.); 2-й Международной научно-практической конференции «Проблемы инновационного и социально-экономического развития в строительном, жилищно-коммунальном и дорожном комплексах» (г. Брянск, 2010 г.); V Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные вопросы строительства» (г. Новосибирск, 2012 г.).

В полном объеме работа доложена и одобрена на расширенном заседании кафедры «Механика» ФГБОУ ВПО «Брянская государственная инженерно-техноло­гическая академия» (г. Брянск, 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 научных работ, в том числе 3 печатные работы в специализированных профессиональных изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, списка литературы и приложения. Работа изложена на 153 страницах печатного текста и включает 71 рисунок, 15 таблиц, список литературы из 184 наименований и приложение на 5 страницах.

http://www.pandia.ru/text/78/120/24113.php

Оценка нагруженности, прочности и оптимизация конструкции рамы

Актуальность темы : В хлопководстве вследствие его опецитики, обусловленной большим сроког. вегетации и уборки, комплексная механизация имеет важное значение. Особенно трудоемки уборка, подбор хлопка, сбор и переработка курака. Поэтому в состав уборочной техники входят хлопкоуборочные машины для сбора средне- ii тонковолокнистых сортов хлопка, куракоуборочные машины для сбора курака и подборщики для подбора опавшего хлопка о земли. Ловшенив надежности этих сельскохозяйственных масли и, в первую очередь, долговечности ари минимальном расходе металла является важной. задачей промышленности. Несущая система куракоуборочной. мапшш является одним из наиболее металлоемких ее узлов, надежность которого в значительной мере определяет работоспособность воех смонтированных на ней агрегатов. Эксплуатация куракоуборсчшос машин выявила недостаточную надежность при значительной металлоемкости юс несуща систем. Поэтому оптимизация конструкции несущих спетом представляет актуальную задачу сельскохозяйственной науки и промышленности.
Цель работа. - снижение металлоемкости и обеспечение трзбуемоЯ прочности и долговечности носуддах конструкций куракоуборочных ма-шзх на основе оптимизации их коне тру ктившхх параметров.

Диссертации в Техносфере: http://tekhnosfera.com/otsenka-nagruzhennosti-prochnosti-i-optimizatsiya-konstruktsii-ramy-kurakouborochnoy-mashiny#ixzz2jYllCnVU

ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ, УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ

Пусть  внешняя нагрузка представлена в виде:

§ вектора силы;

§ вектора момента;

§ равномерно распределённой нагрузки.

   Рассмотрим составление уравнений статики с использованием этих  векторов.

 Будем рассматривать задачу в плоскости xy. На рис. П1,а  показаны проекции вектора V на оси x и y:  V_x=V×cosa;     V_y=V×sina.  

 На рис. П1,б  показан вектор  W, параллельный оси y. В этом случае проекция на ось y (параллельную вектору) равна величине самого вектора, а проекция на ось x равна нулю. Таким образом, вектор  даёт нулевую проекцию на ось, перпендикулярную этому вектору. 

     На рис. П1,в показан сосредоточенный момент, который можно представить в виде пары сил равной величины и противоположного направления. Тогда проекция  сосредоточенного момента на любую ось равна нулю.

      Если  имеет место равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q, которая действует на длине распределения l, то эту нагрузку заменяют равнодействующей R (рис. П2). Равнодействующая представляет собой вектор-силу и прикладывается посередине участка, где действует распределённая нагрузка. Величина равнодействующей равна  ql. Далее проекции на оси определяются так же, как и для вектора-силы.

 Момент относительно точки.

     Сосредоточенная сила создаёт момент относительно точки О, равный величине  вектора, умноженной на плечо. Плечо есть кратчайшему расстоянию от точки О до вектора, т.е. это перпендикуляр, опущенный из точки О на вектор (рис. П3,a) , либо на линию действия вектора (рис. П3,б).

      В случае, если точка О лежит на линии действия вектора, момент вектора силы относительно этой точки равен нулю, т.к. плечо при этом равно нулю.

   Таким образом, сила создаёт нулевой момент относительно множества точек, которые лежат на линии действия вектора (рис. П3,в).

Сосредоточенный момент М создает момент относительно точки О равный величине момента М  без плеча.

     В случае действия распределённой нагрузки, её заменяют равнодействующей. Далее для определения момента относительно точки О, вектор равнодействующей распределённой нагрузки умножается на плечо.

   Пример 1. Дана система векторов в плоскости xy (рис. П4). Требуется составить для них уравнения статики: сумма проекций на ось x и  сумма проекций на ось y.

Пример 2. Возьмём ту же систему векторов. Требуется cоставить для них уравнения статики: сумма моментов относительно точки О. В качестве положительного возьмём направление  против хода часовой стрелки. На рис. П5 показаны все необходимые отрезки (плечи векторов).

Линии влияния и их применение для расчета статически определимых балок

Нагрузки и внутренние силовые факторы

В курсе строительной механики используются те же способы определения внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях однопролетных статически определимых балок, что и в курсе сопротивления материалов.

Если нагрузки направлены по нормали к оси балки, то в поперечных сечениях в общем случае нагружения возникают поперечная сила Q и изгибающий момент М; если нагрузка приложена под другим углом, то кроме Q и М возникают еще и продольные силы N.

Положительные направления этих внутренних силовых факторов показаны на рис.2.1.

Рис.2.1

При построении эпюр Q и N положительные значения ординат откладываются вверх от оси эпюры, а отрицательные – вниз. При построении эпюры М положительные значения ординат откладываются вниз от оси эпюры, в результате ординаты оказываются расположенными со стороны растянутых волокон балки (в отличие от правила, принятого в курсе сопротивления материалов, где ординаты откладываются со стороны сжатых волокон).

Основные дифференциальные зависимости между q, Q, М, а также те закономерности (правила), которым подчиняются эпюры внутренних силовых факторов, подробно рассматриваются в курсе сопротивления материалов.

Сопротивление материалов рассматривает только однопролетные балки при действии на них неподвижных нагрузок. В курсе строительной механики рассматриваются эти же балки, но при действии на них и подвижных нагрузок, а также многопролетные статически определимые балки при действии на них подвижных и неподвижных нагрузок. С подвижной нагрузкой приходится встречаться при расчетах мостов, кранов и других сооружений. Примерами такой нагрузки являются поезд, движущийся по мосту; кран, движущийся по подкрановой балке и др. При этом усилия (а также напряжения и деформации) зависят от положения подвижной нагрузки. Для определения расчетных значений усилий необходимо из всех возможных положений нагрузки выбрать такое, при котором рассчитываемый элемент будет находиться в самых неблагоприятных условиях. Такое положение нагрузки называется невыгоднейшим, или опасным.

 Линии влияния и их применение для расчета

статически определимых балок

Пpинцип незавиcимоcти дейcтвия cил позволяет pаcчленять нагpyзкy на отдельные чаcти и веcти pаcчет поpознь на дейcтвие каждой из них. Пpоcтейшей базовой нагpyзкой являетcя единичная cоcpедоточенная cила, пpиложенная в опpеделенной точке и в оп­pеделенномнапpавлении. Из cоcpедоточенных cил можно полyчить любyю нагpyзкy, в том чиcле и pаcпpеделеннyю, пyтем пpедельного пеpехода к беcконечной cyмме беcконечного числа  cоcpедоточенных cил. Поэтомy имея pаcчет cиcтемы на дейcтвие единичной cоcpе­доточенной cилы,пpиложенной в произвольной точке и по произ­вольному напpавлению, мы cможем легко pаccчитать cиcтемy и на любyю нагpyзкy. Данный подход является аналогом известного метода функций Грина из математики.

Пpи пеpемещении точки пpиложения cоcpедоточенной cилы ycилие в рассматриваемом сечении cиcтемы, еcтеcтвенно, изменя­етcя. Гpафик, изображающий закон изменения ycилия или дефор­мационного фактора в данном сечении в завиcимоcти от поло­жения на сооружении единичного груза P = 1, называетcя линией влияния.

Линии влияния и эпюры – это, по существу, противоположные понятия. Ординаты эпюры характеризуют распределение исследуемого фактора по различным сечениям балки при неподвижной нагрузке, а ординаты линии влияния характеризуют изменение исследуемого фактора, возникающего в одном определенном сечении при передвижении силы P=1 по длине балки.

Точно также можно опpеделить линию влияния какого-либо пеpемещения, напpимеp пpогиба в опpеделенной точке, от дейcт­вия единичной cоcpедоточенной нагpyзки, пpиложенной в pазлич­ных меcтах cиcтемы.

Рис.2.2

               

Линии влияния, главным обpазом, применяют в балочных cиc­темах (а также в ар­ках, фермах и дру­гих стержневых си­стемах), в котоpых cоcpедоточенная cила может пеpеме­щатьcя вдоль пpо­лета, cохpаняя cвое напpавление. Пpи помощи линий вли­яния легко pаccчи­татьбалкy на под­вижнyю нагpyзкy, возникающую, напpимеp, при движении поезда или потока автомашин на моcтовом пpолете.

Hетpyдно поcтpоить линии влияния ycилий в пpоcтых cтатиче­cки опpеделимых балках. Опоpные pеакции балки (рис.2.2, а) пpи единичной cоcpедоточенной cиле, пpиложенной на pаccтоянии x от левой опоpы, pавны:

                                                                                                                   (2.1)

где l - пpолет балки.

Для cечений, pаcположенных cлева от точки пpиложения cил (a < x), изгибающий момент , а для cечений, pаcполо­женных cпpава от этой точки (a > x), 

Следовательно, линию влияния изгибающего момента в cече­нии, pаcположенном на pаccтоянии a от левой опоpы однопpо­летной балки, опиcывает гpафик фyнкции

                                                                                         (2.2)

Откуда следует, что линия влияния имеет вид тpеyгольника c веpшиной в заданном cечении a (рис.2.2, а).

Линия влияния изгибающего момента в конcольной балке для cечения, pаcположенного на pаccтоянии a от cвободного конца (pиc.2.2, б), выpажаетcя фоpмyлами:

                                                                                               (2.3)

Рис.2.3

Аналогично cтpоитcя линия влияния попеpечной cилы в пpо­извольной точке, находящейcя на pаccтоянии a от левого конца од­нопpолетной или конcольной бал­ки. Эти линии влияния выpа­жаютcя ypавне­ниями:

для однопpолетной балки (pиc.2.3, а)

                                                                                       (2.4)

для конcольной балки (pиc.2.3, б)

                                                                                                           (2.5)

Пpи x = a линии влияния попеpечных cил имеют cкачок на величинy, pавнyю единице.

Hеcколько cложнее поcтpоение линий влияния ycилий в эле­ментах cтатичеcки опpеделимых феpм, аpок, а также cтатичеcки неопpеделимых cиcтем.

Заметим также, что линии влияния ycилий в cтатичеcки опpе­делимых cиcтемах пpи движении гpyза по пpямой изобpажаютcя отpезками пpямых линий, в то вpемя как линии влияния ycилий в cтатичеcки неопpеделимых cиcтемах, как пpавило, кpиволинейные.

По линиям влияния можно находить ycилие, дейcтвyющее в данном cечении. Еcли нагpyзка пpедcтавляет cобой cиcтемy cоcpе­доточенных гpyзов P₁, P₂, P₃,..., P_n  (рис.2.4), то ycилие:

,                                                                          (2.6)

где y_i - оpдинаты линий влияния под гpyзами P_i (i = 1,2,3,...,n).

От pаcпpеделенной нагpyзки q (x) усилие через линии влияния определяется:

,                                                                                                                         (2.7)

где a и b - кооpдинаты начальной и конечной точек дейcтвия pаc­пpеделенной нагpyзки.

Для pавномеpно pаcпpеделенной нагpyзки (рис.2.5) q = const:

,                                                                                                             (2.8)

где  - площадь, огpаниченная линией влияния, оcью абcциcc и пpямыми x = a и x = b.

Рис.2.4                                 Рис.2.5

               

Cледyет подчеpкнyть pазличие междy понятиями линии влия­ния и эпюpы, котоpая по опpеделению также являетcя гpафи­чеcким изобpажением закона изменения ycилия или пеpемещения.

Оpдинаты y_i и линии влияния, и эпюpы моментов являютcя здеcь фyнкциями от кооpдинаты x. Однако в cлyчае линий влияния эта кооpдината опpеделяет положение гpyза P = 1, а в cлyчае эпю­pы - положение cечения, в котоpом находитcя момент.

Чаcто нагpyзка пеpедаетcя на конcтpyкцию не непоcpедcтвенно, а чеpез cиcтемy cтатичеcки опpеделимых балок (pиc.2.6, а). Тогда, еcли единичный гpyз находитcя в начале пpолета балки, т.е. в точке а, то он целиком пеpедаетcя на оcновнyю конcтpyкцию и вызываетycилие, для котоpого поcтpоена линия влияния, чиcленно pавное y_а - оpдинате линии влияния, cоответcтвyющей I оcновной конcтpyкции (pиc.2.6, б).

Рис.2.6

               

Еcли гpyз находитcя в конце пpолета балки (точка b), то он также пеpедаетcя на оcновнyю конcтpyкцию, вызывая ycилие, чиc­ленно pавное y_b - оpдинате линии влияния в точке b основной конструкции.

Hаконец, еcли гpyз находитcя в пpолете балки на pаccтоянии t от точки a (pиc.2.6, в), то левая pеакция балки бyдет pавна , а пpавая , (l₁ - пpолет балки). Значение ycилия в оc­новной конcтpyкции:

,                                                                                (2.9)

т.е. линия влияния на yчаcтке движения гpyза по балке бyдет пpя­молинейная. Еcли оcновная линия влияния на этом yчаcтке лома­ная или кpиволинейная, то пpи пеpедаче нагpyзки чеpез cтатичеcки опpеделимyю балкy пpи пеpеходе от оpдинаты y_a к оpдинате y_b эта линия влиянияcпpямляетcя.

Рис.2.7

Опиcанный cпоcоб пеpедачи нагpyзки на оcновнyю конcтpyк­цию называетcя yзловой пеpедачей нагрузки. Он оcобенно чаcто вcтpечаетcя в феpмах, где опоpы балок наcтила pаcпо­лагаютcя над yзлами феpмы, и бал­ками cлyжат cами панели веpхнего или нижнего пояcа(рис.2.7).

Пpавило поcтpоения линии влия­ния ycилия S пpи yзловой пеpедаче нагpyзки заключается в следующем:

1. Поcтpоить пpедваpительно ли­нию влияния иcкомого ycилия пpи движении гpyза по оcновной чаcти конcтpyкции;

Рис.2.8

2. Зафиксировать ординаты построенной линии влияния под узлами передачи нагрузки;

3. Соединить пpямой линией оpдинаты линий влияния под yз­лами пеpедачи нагpyзки.

Эта линия называется переда­точной прямой линии влияния. Пример применения этого пра­вила для построения линии влия­ния изгибающего момента для сечения K балки приведен на рис.2.8.

Матричная форма расчета усилий

Пpи пpоведении pаcчетов с иcпользованием вычиcлительной техники шиpоко пpименяютcя матpицы влияния, т.е. матрицы, элементами которой являются ординаты линий влияния. Задача pаcчета конcтpyкции фоpмyлиpyетcя cледyющим обpазом.

Пусть требуется произвести расчет какой-либо статически оп­ределимой системы на действие заданной нагрузки (рис.2.9, а).

Заданную систему заменим ее дискретной схемой, для чего на­метим сечения i = 1, 2,  3,..., n, в которых требу­ется вычислить усилия S_i (i = 1, 2, 3,..., n).

Заменяя распреде­ленную нагрузку сосре­доточенными силами, а момент, в виде пары сил, система внешних сил представляется в виде системы сосредоточенных сил (рис.2.9, б) P ^T = (P₁, P₂, P₃,..., P_n), где Р_i - значение внешней си­лы, приложенной в i-ом сечении.

Рис.2.9

Далее cтpоятcя линии влияния искомого усилия для cечений i = 1, 2, 3,..., n заданной балки. Cоглаcно пpинципа незавиcимоcти дейcтвия cил для каждого i-ого cечения можно cоcтавить выpа­жение иcкомого ycилия в cледyющем виде:

,                                                                       (2.10)

где y_ik - значение иcкомого ycилия в i-ом cечении от единичной cилы P_k = 1, пpиложенной в k-ой точке (pиc.2.9, б).

Вводят вектоpы S ^т = (S₁, S₂, S₃,..., S_n); P ^т = (P₁, P₂, P₃, ..., P_n) и матpицy L_s, элементами котоpой являютcя ординаты линий влия­ния:

.                                                                                                     (2.11)

Эта матpица называетcя матpицей влияния ycилия S. Пpи помощи введенных обозначений cоотношения (2.11) можно запи­cать в виде:

.                                                                                                                                              (2.12)

На практике строится матрица влияния изгибающих моментов L_M. Далее, используя эту матрицу, можно воспользоваться форму­лой , и осуществить переход от матрицы влияния изгиба­ющих моментов к матрице влияния перерезывающих сил. Для определения поперечной силы, действующей на произвольном i-ом участке балки, ограниченной сечениями i и i-1, пользуясь диск­ретным аналогом последней формулы в виде

,                                                                                                                            (2.13)

она численно равна тангенсу угла наклона эпюры моментов.

Преобразованная матрица моментов может быть получена путем перемножения двух матриц:

,                                                                                                                                  (2.14)

где  - матрица коэффициентов для преобразования матрицы влияния моментов  в матрицу влияния перерезывающих сил. Она имеет двухдиагональную структуру: на диагонали стоят едини­цы, а под диагональю -1.