Метод конечных разностей (МКР)

Этот метод численного решения  краевых задач для дифференциальных уравнений  называют также  методом сеток.  Суть метода состоит в следующем.  На рассчитываемую область наносится сетка с узлами.  Все производные, входящие в дифференциальные уравнения и граничные условия, приближенно заменяются соответствующими разностными отношениями (по формулам численного дифференцирования) и, таким образом, выражаются через неизвестные узловые значения искомой функции. В результате приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений функций в узлах сетки.  Решение этой системы с последующей интерполяцией в промежутках между узлами позволяет в конечном счете получить приближенное решение рассматриваемой задачи.

Большим преимуществом этого метода является слабая зависимость от  граничных условий задачи, геометрии конструкций и характера исходного напряженного состояния.  Недостатком является высокий порядок систем алгебраических уравнений.  Для МКР также характерны затруднения при учете смешанных граничных условий, рассмотрении многосвязных областей и стыковок областей, описываемых различными дифференциальными уравнениями. 

Первые работы по применению МКР к задачам линейной теории упругости были выполнены  Г. Маркусом в начале XX столетия.  Широкий круг задач был решен  Н. П. Абовским,  П.М. Варваком,  М.А. Колтуновым, М.С. Корнишиным и др. В дальнейшем этот метод применялся для решения плоских задач теории упругости, изгиба пластин, оболочек и т. д.

Изложим основные положения МКР на примере одномерной задачи. Пусть, например, υ(x) есть уравнение изогнутой оси балки (рис. 9.86).  Точное значение производной в точке  С  будет равно

Выражение (9.243) называется  центральной  разностью  в точке  i,  а (9.244) и (9.245) – соответственно  правой  и  левой разностями  в точке  i  в  нецентрированной форме.  Все вышеприведенные выражения для первой производной,   помимо того, называются  первыми разностями.

Рассмотрим, как выполняется учет заданных условий по МКР. 

Если  υ_i = 0  в точке i, то данное неизвестное просто исключается из системы алгебраических уравнений (соответственно число уравнений в системе уменьшается на одно). 

Если  υ′ (x_i) = 0, то, подставляя данное условие в (9.243), имеем  ,  откуда  υ_l = υ_k,  и одно из этих неизвестных, например υ_l, также исключается   из системы уравнений. 

Если  , то из выражения второй разности (9.246) можно, например, выразить  υ_l = 2υ_i – υ_k.  Данная зависимость также позволяет исключить одно неизвестное, в данном случае  υ_l.