Порядок и процедуры кинематического анализа

В ходе кинематического анализа расчётной схемы сооружения даются ответы на два главных вопроса:

1) достаточно ли суммарное число внешних и внутренних связей в системе для того, чтобы при правильном их размещении обеспечить её геометрическую неизменяемость?

2) правильно ли расставлены связи?

Следует обратить внимание на то, что первый вопрос ещё не предполагает изучения правильности расстановки связей – он  нацелен на оценку их количества.

В связи с этим в кинематическом анализе выделяются два последовательных этапа:

1) количественный анализ;

2) качественный (структурный) анализ.

Количественный анализ

К о л и ч е с т в е н н ы й   а н а л и з – это исследование расчётной схемы сооружения, заключающееся в оценке баланса    (соотношения) суммарного числа степеней свободы дисков системы до наложения на них внешних и внутренних связей (т.е. несвязанных дисков) и суммарного числа внешних и внутренних связей системы,  в пересчёте на связи первого типа.

Указанный пересчёт объясняется тем, что именно связь первого типа способна устранять, при правильном её использовании, одно возможное взаимное перемещение (линейное или угловое) соединяемых дисков, т.е. одну степень свободы.

Количественная оценка степеней свободы и числа связей

Суммарное число степеней свободы несвязанных дисков системы обозначим , а суммарное число условных (в пересчёте) связей  первого типа –  n_c.

Для правильной оценки соотношения между  и n_c  (больше, меньше, равны) необходимо, изучив расчётную схему сооружения,  заранее строго определить, какие элементы системы считать дисками, а какие рассматривать как связи. При этом имеет смысл учитывать возможности, проиллюстрированные выше на рис. 1.25. Один и тот же элемент не может одновременно быть и  диском, и  связью; связи должны налагаться только на диски, но не друг на друга.

После номинации дисков выполняется формальное выявление внешних и внутренних связей в системе по следующему алгоритму:

1) определяются  возможные комбинации  соединений дисков друг с другом, исключая диск «земля» (например, четыре диска системы D₁ , D₂ , D₃ , D₄   могут иметь соединения в следующих шести сочетаниях:  D₁D₂ , D₁D₃ , D₁D₄ , D₂D₃ , D₂D₄ , D₃D₄ );

2) каждая  комбинация  проверяется  на  предмет реального существования предсказанных в главе 1.3 возможных соединений соответствующих дисков, и в случае наличия связей (одной или нескольких) определяются их типы;

        3) дополнительно для всех дисков проверяется  наличие связей между точками   одного  и  того  же  диска (примеры  –  на рис. 1.29:  связь  3-го типа (припайка)  в  узле А  диска D₁ (криволинейного стержня с замкнутой осью), связь 2-го типа (шарнир) в диске-стержне D₂  и связь АВ 1-го типа (линейная) в диске D_3 ;

        4) во всех точках,  где имеются соединения  с  диском «земля» (опоры), т.е. внешние связи, оцениваются их типы и подсчитывается число эквивалентных им связей 1-го типа.

Число дисков системы (без учёта диска «земля») обозначим D, число внутренних связей 1-го типа – С, 2-го типа (шарниров в плоских системах) – Н, 3-го типа (припаек) – П, суммарное число внешних связей (с диском «земля»), пересчитанных на связи 1-го типа – С_о.

Рис. 1.29

Рассмотрим примеры реализации вышеприведённого алгоритма, учитывая, что для одной и той же системы возможны различные варианты представления о её дисках и связях.

Например,  систему  с  расчётной  схемой  по  рис.1.30, а, можно  считать  состоящей  из  шести  дисков  (D₁ , D₂ ,…, D₆  на    рис.1.30, б), тогда внутренними связями являются три припайки П₁ , П₂ , П₃  между дисками D₁D₂ , D₂D₅ , D₃D₄  и три шарнира Н₁ , Н₂ ,Н₃  между дисками D₁D₆ , D₅D₆ , D₂D₃ (или D₅D₃ – альтернативно, но не одновременно с D₂D_3 !, так как диски D₂ и D₅ соединены жёстко, и в соединении с диском D₃ формально выступают как единый диск, учитываемый только один раз). Соединения с «землей» имеются в точках А, В и G, где расположены соответственно неподвижная защемляющая опора (внешняя связь 3-го типа), подвижная шарнирная опора (внешняя связь 1-го типа) и неподвижная шарнирная опора (внешняя связь 2-го типа). Суммарное число эквивалентных связей первого типа равно  3 + 1 + 2 = 6.

   

Рис. 1.30

Во втором варианте (см. рис.1.30, в) П-образная левая часть системы состоящая из трех стержней, жёстко соединенных в узлах  Р и S,  считается  диском D₁  (эту часть  также можно рассматривать просто как диск в виде стержня с ломаной осью). Аналогично назначен диск D₂ . Горизонтальный элемент KL рассматривается как диск D₃ . Формально к дискам отнесен также опорный стержень в точке В, обозначенный как диск D₄. Четыре диска соединяются друг с другом только шарнирами – их четыре (Н₃ и Н₄ – соответственно между дискамиD₁D₂ , D₁D₄   и два – Н₁ и Н₂ между D₁D₃). Опоры в точках А и G – такие же, как в первом варианте, а посредине диск D₄ имеет опорный шарнир в  точке В’. Суммарно опоры эквивалентны 3 + 2 + 2 = 7 связям первого типа.

В третьем варианте (см. рис. 1.30, г) рассматривается только один диск D₁. Поэтому внутренних связей, соединяющих его  с другими дисками, нет. Стержень KL, схема которого точно соответствует определению линейной связи согласно рис. 1.12, учитывается как внутренняя связь 1-го типа между точками K и L одного диска (в соответствии с п. 3 приведённого выше алгоритма). Правый стержень с ломаной осью отнесён к внешним связям в качестве условной линейной связи с осью SG (по аналогии с рис. 1.25, б). Внешние связи (опоры) в точках А и В – такие же, как в первом варианте. Суммарное число эквивалентных внешних связей 1-го типа: 3 + 2 + 1 = 5.

Таким образом, в трёх рассмотренных вариантах номинации дисков и связей имеем:

– по рис. 1.30, б:   D = 6,  П = 3,  H = 3,  C = 0,  C_o = 6;

– по рис. 1.30, в:   D = 4,  П = 0,  H = 4,  C = 0,  C_o = 7;

– по рис. 1.30, г:   D =  1,  П = 0,  H = 0,  C = 1,  C_o = 5.

Возможны и иные варианты представления о дисках и связях той же системы.

В некоторых точках (узлах) могут соединяться шарнирно или жёстко более двух дисков (рис. 1.31, а, б  соответственно).

Шарнирный узел (см. рис. 1.31, а) по существу  представляет собой попарное соединение дисков бесконечно близко расположенными шарнирами (см. рис. 1.31, в), условно изображаемыми с общим центром (осью вращения). Поэтому шарнир, соединяющий более двух дисков, называется кратным (или сложным).  Очевидно, что в нем объединены n_{D, уз} – 1 обычных (иногда говорят – простых) цилиндрических шарниров; здесь n_{D, уз} – количество дисков, соединяемых в узле кратным шарниром. В случае, показанном на рис. 1.31, а, соединение дисков в узле учитывается как три простых шарнира (Н_уз = n_{D, уз} – 1 = 4 – 1 = 3). Заметим, что если какой-либо стержень из сходящихся в шарнирном узле отнесён не к дискам, а к связям 1-го типа, то при подсчете кратности шарнира он, конечно, не учитывается.

Рис. 1.31

Аналогично кратной, т.е. соединяющей более двух дисков, может быть и припайка (см. рис. 1.31, б), эквивалентная также   n_{D, уз} – 1  простым  припайкам  (двум  в  узле,  изображённом  на   рис. 1.31, б:  П_уз = n_{D, уз} – 1 = 3 – 1 = 2).

Очевидно, что в случае, приведённом на рис. 1.31, г, несмотря на наличие трёх сходящихся в узле стержней, припайка не является кратной, так как два из трёх стержней заранее объединены в диск D₁. Если какой-либо из стержней, жёстко соединённых в узле, принят в качестве связи 3-го типа (в соответствии с рис. 18, в), то он не учитывается  в  n_{D, уз .}

Расчётная схема сооружения может содержать узлы, в которых осуществляется одновременное соединение дисков с помощью шарниров и припаек (например, узел S на рис. 1.30, б), в том числе и кратных. Такие узлы, в отличие от тех, где соединение дисков только шарнирное (шарнирные узлы) или только жёсткое (жёсткие узлы), называются узлами с комбинированным соединением дисков. Для правильной оценки числа эквивалентных простых шарниров и припаек требуется аккуратная оценка кинематических свойств комбинированного соединения. Например, в узле, изображённом на рис. 1.32, а, жёстко соединяются три диска-стержня D₁, D₂ и D₃  (соответственно кратная припайка эквивалентна 2 простым), а кратный шарнир связывает четыре диска – D₄ , D₅ , D₆  и объединённый диск D_I = D₁ + D₂ + D₃ и поэтому эквивалентен трём простым; следовательно, П_уз = 2,   Н_уз = 3.

Рис.1.32

В комбинированном узле, показанном на рис.1.32, б, соединяются семь дисков с помощью двух простых и одной кратной припайки, эквивалентной двум простым, а также кратного шарнира,  связывающего три укрупнённых диска D₁ + D₂ ,  D₆ + D₇  и  D₃ + D₄ + D₅ . В итоге для узла имеем П_уз = 4, Н_уз = 2.

Замечание, не имеющее прямого отношения к кинематическому анализу,но полезное в дальнейшем:

Особенности соединения нескольких элементов в шарнирном узле реальной конструкции определяются конкретным инженерным воплощением узла: возможно соосное объединение элементов на общем цилиндрическом вкладыше – в этом случае кратный шарнир в расчётной схеме появляется естественным образом; могут применяться также различные сочетания шарнирных соединений с небольшими расстояниями между осями шарниров – при формировании расчётной схемы конструкции эти малые несоосности могут игнорироваться, что опять же приводит к возникновению кратного шарнира. Каким образом появился кратный шарнир в расчётной схеме сооружения, для кинематического анализа не имеет никакого значения. Однако на стадии расчёта конструкции целесообразно конкретизировать соединение дисков в узле, обозначив определённую комбинацию простых шарниров – это позволяет составить чёткое представление о реакциях связей и о том, к каким именно соединяемым дискам те или иные из них должны быть приложены.

Разные варианты внутренней структуры сложного шарнирного узла отличаются лишь «игрой сил» в самом узле, т.е. различными комбинациями реакций связей простых шарниров. Для реальной конструкции это, несомненно, имеет значение в области узла, малой в сравнении с размерами элементов конструкции, но за пределами этой области особенности внутреннего распределения сил в ней практически не влияют на усилия в системе. Поэтому если сведения о конкретном конструктивном решении узла отсутствуют, то можно задать в нем любое соединение дисков простыми шарнирами, выбрав наиболее удобный из нескольких вариантов. Например, альтернативой модели, приведённой на рис.1.31, в,  является прикрепление диска D₄ шарниром не к D₁ , а к D₂ или D₃  (возможны и другие комбинации соединений).

После того, как выполнено разделение элементов расчётной схемы сооружения на диски и связи (NB: не должно остаться ни одного элемента, не отнесённого к одной или другой категории!), выполняется вычисление и последующее сопоставление n_ и n_c . Суммарное число степеней свободы несвязанных дисков определяется исходя из того, что каждый жёсткий пространственный диск, как установлено выше, обладает шестью степенями свободы, а плоский – тремя. Тогда если, как принято ранее, число дисков системы – D, имеем

      

При выводе формулы для суммарного числа внешних и внутренних связей n_c (в пересчёте на связи 1-го типа) учитывается, что пространственная припайка эквивалентна шести  простым связям (плоская – трём), шарниры плоских систем (цилиндрические и поступательные) учитываются как две связи 1-го типа, шаровой шарнир в пространственной системе – как три:

     

При использовании формулы ( 2 ) для пространственной системы все соединения, не подпадающие под признаки припайки, шарового шарнира или связи 1-го типа, непосредственно представляются как комбинации соответствующего числа простых связей.

Необходимое условие геометрической неизменяемости

Очевидно, что для обеспечения геометрической неизменяемости системы необходимо отсутствие возможных перемещений (степеней свободы) у её дисков после наложения на них всех выявленных внешних и внутренних связей. А это возможно лишь в том случае, когда суммарное число связей n_c не меньше суммарного числа степеней свободы  несвязанных дисков, т. е.

,                                         ( 3 )

в противном случае останутся некоторые неустраненные степени свободы, что является признаком геометрически изменяемой системы. Если ввести для характеристики соотношения  и n_c их разность

,                               ( 4 )

то условие ( 3 ) примет вид

_.                                             ( 5 )

Неравенства  ( 3 )  и  ( 5 )  выражают  необходимое, но недостаточное условие геометрической неизменяемости  системы.

Недостаточность условия неизменяемости в виде ( 3 )  или  ( 5 ) проявляется в том, что оно имеет сугубо количественный характер и не может учесть возможных дефектов в размещении связей. Не исключена ситуация,  когда характеристика W неположительная, т.е. условие (5) выполняется, но связи в системе распределены неправильно: например, с переизбытком в некоторых частях, тогда в других частях их может быть недостаточно, и там остаются некоторые степени свободы дисков. Следовательно, выполнение необходимого условия геометрической неизменяемости не гарантирует того, что система в действительности будет неизменяемой.

Результатом  проверки  выполнения условия ( 5 ) является одно из двух  альтернативных заключений:

1)  система  может быть  неизменяемой (если получено W = 0 или W < 0);

2)  система геометрически изменяема (при W > 0).

Вычисление характеристики W и проверка выполнения необходимого условия геометрической неизменяемости составляют содержание 1-го этапа кинематического анализа – количественного анализа расчётной схемы сооружения. В представленном на рис. 1.6 алгоритме кинематического анализа количественный анализ является частью процедуры проверки, обозначенной оператором 1, и обеспечивает немедленный выход из  него при W > 0 (ответ «нет»). В случаях W = 0 или W < 0 для  выхода с ответом «да» или «нет» необходимо дальнейшее исследование расчётной схемы сооружения – структурный анализ системы.

Для вычисления характеристики W служат формулы, получаемые подстановкой в ( 4 ) выражений ( 1 ) и ( 2 ):

Рассмотрим определение W для трёх вариантов описания плоской стержневой системы (см. рис. 1.30, б, в, г):

– по варианту 1: W =  

– по варианту 2: W =  

– по варианту 3: W =  

Во всех трёх вариантах получено, как и следовало ожидать, одно и то же значение W = –3 < 0. Заключение по результатам количественного анализа: система может быть геометрически неизменяемой, так как связей количественно хватает (и даже имеется некоторый их избыток), чтобы при правильном их размещении обеспечить устранение всех степеней свободы дисков системы.

Для системы, изображённой на  рис. 1.33,  после  обозначения дисков D₁ , D₂ ,…, D₅  имеем: D = 5;  П = 0;  Н = 4 (в  узлах К, L и кратный в узле G); С = 0; С_о = 7 (опорные шарниры А и С, каждый из которых эквивалентен двум связям  1-го типа,  и  неподвижная защемляющая опора В  –  три связи);

W =  – система может быть геометрически неизменяемой.

Рис.1.33

В системе, схема которой показана на рис. 1.34, выделены шесть дисков ( D = 6 ). Жёстких узлов нет ( П = 0 ). Шарниров четыре  (все  простые – соединяют  диски  попарно:  D₁D₂ , D₂D₃ , D₃D₄ , D₄D₅ ), т.е. Н = 4. Внутренние связи 1-го типа – стержни CS, SJ,TP и TL; С = 4. Внешних связей – пять (С_о = 5): стержни АС и LK, а также три связи в опорах В и G. Находим W = > 0 – система геометрически изменяемая.

Рис. 1.34

Можно стержень JР отнести не к дискам, а к внутренним линейным  связям,  тогда  D = 5,  П = 0,  H = 2,  C = 5,  С_о = 5  и   W =  >  0 – результат не изменился.

Заметим, что в обоих вариантах диск D₆ необходим, так как иначе стержень SТ должен рассматриваться как связь 1-го типа, и в узлах S и Т связи будут соединяться только друг с другом, что недопустимо.

Замечание: иногда характеристику W называют числом степеней свободы системы. Использование такого не вполне корректного термина  может  стать  причиной  неверного  вывода:  ведь если вложить  в  W смысл, отвечающий названию, то результат W = 0  формально следует  истолковывать как отсутствие у системы степеней свободы  и, следовательно, оценивать систему как геометрически неизменяемую; но это не всегда  соответствует истине.  Например,  в случае,  представленном  на рис. 1.33,  W = 0, но  в  действительности существует очевидная   возможность   конечных  перемещений дисков в правой части системы (рис. 1.35), полностью определяемых углом ;  следовательно, у системы всё-таки имеется одна степень свободы. Объяснение этой ошибки заключается в том, что названием «число степеней свободы системы» характеристике W придается несвойственное ей содержание качественного характера, выводящее на заключение о кинематическом качестве системы, в то время как W служит лишь для оценки количественной достаточности или недостаточности связей для возникновения возможности устранения всех степеней свободы несвязанных дисков (вопрос о том, реализуется или нет указанная возможность, на этапе количественного анализа системы вообще не рассматривается). Некорректность термина «число степеней свободы системы» в применении к характеристике W особенно отчётливо проявляется в случае отрицательного её значения.

Рис. 1.35

Как уже отмечалось выше, если в результате выполнения 1-го этапа (количественного анализа) обнаружено, что расчётная схема системы удовлетворяет необходимому условию геометрической неизменяемости ( 5 ),  то осуществляется её качественный (структурный) анализ, представляющий собой 2-й этап кинематического анализа.