Расчет статически неопределимых систем методом перемещений на силовое воздействие

            1. Степень кинематической неопределимости сооружения

Расчет статически неопределимых систем методом сил на различные воздействия сводится к определению усилий в лишних связях из системы канонических уравнений этого метода. Вычисление внутренних усилий в различных элементах сооружения и построение их эпюр в методе сил производится в основной системе, как правило, статически определимой, испытывающей заданные воздействия и воздействия усилий в лишних связях. Таким образом, выявление напряженно-деформированного состояния сооружений в расчетах методом сил начинается с получения картины распределения внутренних усилий и завершается вычислением перемещений отдельных узлов и сечений сооружения.

Возможен принципиально иной подход к расчету сооружений, когда выявление их напряженно-деформированных состояний начинается с определения перемещений от заданных воздействий и завершается построением эпюр внутренних усилий. Такой подход в расчетах сооружений реализуется в методе перемещений.

В методе перемещений сохраняются допущения, ранее принятые при расчете сооружений методом сил, а именно: материал, из которого изготовлены элементы сооружений, подчиняется закону Гука; перемещения отдельных сечений и узлов сооружений малы по сравнению с их геометрическими размерами. C учетом сформулированных допущений сооружения можно рассматривать как линейно-деформируемые системы, для которых справедлив принцип независимости действия сил и вытекающий из него принцип пропорциональности.

Известно, что для определения изгибающего момента в произ­вольном сечении заданного стержня необходимо знать величины поворотов в концевых сечениях и относительные линейные смеще­ния концов стержня друг относительно друга.

При расчете статически неопределимой системы методом пере­мещений первоначально необходимо установить общее число неиз­вестных перемещений, подлежащих определению для адекватного вычисления величин внутренних усилий.

За неизвестные в методе перемещений принимаются перемещения узлов от заданных воздействий: линейные перемещения шарнирных и жестких узлов Z₁ и Z₂ и повороты жестких узлов Z₃ (рис. 8.1,а,б). Суммарное количество неизвестных угловых (n_θ) и линейных (n_Δ) перемещений узлов называется степенью кинематической неопределимости сооружения.

n_kin = n_θ + n_Δ.                                  (8.1)

Число неизвестных угловых перемещений n_θ равно количеству жестких узлов сооружения. Жестким считается узел, в котором кон­цы, по крайней мере, двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой (например, узлы 1, 2, 3, на рис.8.2, а).

Рис.8.2

Для сооружений, в которых перемещения от внешних воздействий обусловлены преимущественно изгибными деформациями, при определении числа независимых линейных перемещений узлов вводятся дополнительные допущения:

1. Элементы сооружений считаются нерастяжимыми и несжимаемыми, т.е. пренебрегают изменением их длин под действием продольных сил.

2. Предполагается, что длины хорд искривленных стержней равны их первоначальным длинам, т.е. А′В′ = АВ (рис. 8.3).

Считая сформулированные допущения справедливыми, число независимых линейных перемещений узлов сооружения n_Δ можно определить по его шарнирной схеме, полученной из заданного сооружения введением во все жесткие узлы, включая и опорные, врезанных цилиндрических шарниров (рис.8.2, б и рис.8.4, б). Число неизвестных линейных сме­щений узлов системы равно числу стержней, которые необходимо ввести в шарнирную схему, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую систему. Следовательно, число независимых линей­ных смещений узлов равно степени геометрической изменяемости шарнирной системы, полученной из заданной, путем введения во все жесткие узлы, включая и опорные, полных шарниров.

На основании о пренебрежении продольными деформациями элементов, для плоской рамы (рис.8.1, а), линейные смещения узлов отсутствуют. При этом, шарнирная схема (рис.8.2, б) является геометрически неизменяемой.

Рис.8.4

Рамы, шарнир­ные схемы которых являются геометри­чески неизменяемы­ми, относятся к ка­тегории, так называ­емых, закрепленных или несвободных. Для таких рам число неизвестных перемещений легко определяется и оно всегда равно числу жестких узлов: n = n_θ . В нашем примере n_kin = 3.

В качестве другого примера, рассмотрим раму, изображенную на рис.8.4, a, число жестких узлов которого равно 2. Следова­тельно, n_θ  = 2.

Шарнирная схема рамы один раз геометрически изменяемая, так как для превращения ее в геометрически неизменяемую необ­ходимо ввести 1 стержень, например, так, как это показано на рис.8.4, б. Итак, число линейных неизвестных перемещений n_Δ= 1. Общее число неизвестных перемещений в рассматриваемой системе, изображенной на рис.8.4, a, равно n_kin  = 2 + 1 = 3.

Степень свободы полученной таким образом шарнирной схемы будет равна числу независимых линейных перемещений узлов заданной системы. Для подсчета количества степеней свободы плоской шарнирной схемы W используют формулу:

W = 2Y − C − C_o,                                                                                              (8.2)

где    Y – число узлов;   C – число стержней,  соединяющих узлы;

C_o – число опорных связей.

2. Определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений

Коэффициенты при неизвестных r_ij и r_ii и свободные члены R_iF системы канонических уравнений метода перемещений (см. п. 8.3) можно определить, используя эпюры внутренних усилий, полученные в основной системе от смещения наложенных связей на величину, равную единице, и от заданной нагрузки с помощью стандартных задач (см. п. 8.4).

Для определения реакций в наложенных связях от вышеупомянутых воздействий используют статический или кинематический способы.

Статический способ. Реакция в любой наложенной связи в основной системе метода перемещений от единичных кинематических воздействий и от нагрузки определяется из условия равновесия узла или любой части сооружения, содержащих рассматриваемую связь (см. пример в п. 8.7).

Кинематический способ. Используя принцип возможных перемещений, определим коэффициенты при неизвестных r_ij и r_ii.

Рис. 8.14

Рассмотрим i-е исходное состояние основной системы метода перемещений, в котором i-я наложенная связь получила перемещение на величину, равную единице, и определим реакцию в j-й наложенной связи  r_ji от этого перемещения (рис. 8.14,а). За возможные примем перемещения в j-м состоянии основной системы (рис. 8.14,б). Суммарная возможная работа внешних (W_ext,ij) и внутренних (W_int,ij) сил i-го состояния на возможных перемещениях, имеющих место в j-м состоянии, в силу равновесия рассматриваемой системы равна нулю

W_ext,ij+ W_int,ij = 0.                                                         (8.8)

В соотношении (8.8) возможная работа внешних сил запишется:

W_ext,ij = r_ji · 1.                                                               (8.9)

Возможную работу внутренних сил вычислим с учетом только изгибных деформаций

                    (8.10)

После подстановки выражений (8.9) и (8.10) в зависимость (8.8) получим

                              (8.11)

Если i-е состояние основной системы будем рассматривать как исходное и как вспомогательное, повторно применяя принцип возможных перемещений, вычислим

                                           (8.12)

Из соотношения (8.12) следует, что главные коэффициенты r_ii системы канонических уравнений всегда положительны. Формула (8.11) по существу подтверждает теорему о взаимности реакций (r_ji = r_ij), так как множители M_ik(s) и M_jk(s) в подынтегральном выражении можно менять местами.

Для определения реакций в наложенных связях от заданной нагрузки R_iF воспользуемся теоремой о взаимности возможных работ состояний F и i,  изображенных на рис. 8.15,а,б.

                                                              

                                                    (8.13)

Так как

то, используя равенство (8.13), получим:

                                                             (8.14)

где – перемещение в направлении обобщенной силы F от смещения i-й наложенной связи на величину, равную единице в основной системе метода перемещений.

Перемещение определяется по формуле, которую здесь приведем без доказательства:

                               (8.15)

В соотношении (8.15):  – изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от смещения i-й наложенной связи на величину, равную единице;  – изгибающие моменты в любой статически определимой основной системе метода сил, полученной из рассматриваемой основной системы метода перемещений удалением лишних связей, в том числе обязательно и i-й связи, от единичного обобщенного фактора (рис.8.15,в).

Изгибающие моменты  от полного значения обобщенной силы F можно представить в виде

 отсюда

                                               (8.16)

Соотношение (8.15) с учетом зависимости (8.16) перепишется:

                             (8.17)

После подстановки выражения (8.17) в формулу (8.14) окончательно получим

                         (8.18)

Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений с помощью соотношений (8.11), (8.12) и (8.18), как и в методе сил, можно произвести сопряжением соответствующих эпюр внутренних усилий, используя формулу Симпсона или правило Верещагина.

В двадцать второй лекции будет рассмотрено определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений в матричной форме.